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2010全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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发布时间: 2021-12-30 16:35

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1 单选题 1分

设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=O。若A的秩为3,则A相似于(  )。

数学二,历年真题,2010全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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正确答案:D

本题解析:

设λ为A的特征值,由于A2+A=O,所以λ2+λ=0,即(λ+1)λ=0。这样A的特征值为-1或0。由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A~Λ,r(A)=r(Λ)=3。

因此

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2 单选题 1分

设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示,下列命题正确的是(  )。

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正确答案:A

本题解析:

由于向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,所以r(Ⅰ)≤r(Ⅱ),即r(α1,α2,…,αr)≤r(β1,β2,…,βs)≤s。若向量组Ⅰ线性无关,则r(α1,α2,…,αr)=r,所以r(α1,α2,…,αr)≤r(β1,β2,…,βs)≤s。即r≤s,选A项。

3 单选题 1分

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正确答案:D

本题解析:

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4 单选题 1分

设m,n为正整数,则反常积分数学二,历年真题,2010全国硕士研究生入学考试《数学2》真题的收敛性(  )。

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正确答案:D

本题解析:

分析过程如下。根据题目有

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①对数学二,章节练习,研究生数学二1进行讨论:被积函数只在x→0+时无界。因为

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又反常积分数学二,章节练习,研究生数学二1收敛,所以数学二,章节练习,研究生数学二1收敛。

②对数学二,章节练习,研究生数学二1进行讨论:被积函数只在x→1-时无界。因为

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且反常积分数学二,章节练习,研究生数学二1收敛,所以数学二,章节练习,研究生数学二1收敛。

综上,无论正整数m和n取何值,反常积分数学二,章节练习,研究生数学二1都收敛,故选D。

5 单选题 1分

设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则(  )。

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正确答案:A

本题解析:

因λy1-μy2是y′+p(x)y=0的解,故(λy1-μy2)′+p(x)(λy1-μy2)=0。所以λ(y1′+p(x)y1)′-μ(y2′+p(x)y2)=0。而由y1′+p(x)y1=q(x),y2′+p(x)y2=q(x),所以有(λ-μ)q(x)=0。

又因λy1+μy2是非齐次y′+p(x)y=q(x)的解,故(λy1+μy2)′+p(x)(λy1+μy2)=q(x)。所以(λ+μ)q(x)=q(x)。故λ=μ=1/2。

6 单选题 1分

设函数z=z(x,y)由方程F(y/x,z/x)=0确定,其中F为可微函数,且F2′≠0,则x·(?z/?x)+y·(?z/?y)=(  )。

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正确答案:B

本题解析:

由F(y/x,z/x)=0得

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7 单选题 1分

曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切,则a=(  )。

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正确答案:C

本题解析:

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