2020全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。

设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，

由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。

a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量。

可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足。

故应选D项。

2 单选题 1分

设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A＊为A的伴随矩阵，则A＊x＝0的通解为（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。

由

可知r（A＊）＝1。

故A＊x＝0得基础解系含有3个解向量。

因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。

又A＊A＝A＊（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A＊x＝0的解。

综上，a1，a3，a4为A＊x＝0的一个基础解系，故A＊x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数。

故应选C项。

3 单选题 1分

设函数f（x）在区间[－2，2]上可导，且f′（x）＞f（x）＞0，则（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，从而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。

从而e－xf（x）在[－2，2]上单调递增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。

又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故应选B项。

由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，选项C错误；

由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，选项D错误；

对于选项A，因f′（x）＞0，故f（x）单调递增，从而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，选项A错误。

4 单选题 1分

f（x）＝x2ln（1－x），当n≥3时，f（n）（0）＝（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

5 单选题 1分

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正确答案：A

本题解析：

6 单选题 1分

若，则f（x）第二类间断点的个数为（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

7 单选题 1分

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正确答案：D

本题解析：

8 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：