2008全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

设

则在实数域上，与A合同的矩阵为（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

则λ1＝－1，λ2＝3，记

则

则λ1＝－1，λ2＝3，矩阵A和矩阵D的正负惯性指数相同，故选D项。

2 单选题 1分

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3＝O，则下列结论正确的是（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

（E－A）（E＋A＋A2）＝E－A3＝E，（E＋A）（E－A＋A2）＝E＋A3＝E。故E－A，E＋A均可逆。

3 单选题 1分

设函数f（x）连续，

其中区域Duv如图2阴影部分所示，则?F/?u＝（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

利用极坐标，得

所以?F/?u＝vf（u2）。

4 单选题 1分

判定函数

间断点的情况（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

函数可能的间断点有x＝0，x＝1两个。

在x＝0时，

故x＝0是可去间断点。

在x＝1时，

故x＝1是跳跃间断点。

5 单选题 1分

在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意的常数）为通解的是（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

由y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x，可知其特征根为λ1＝1，λ2，3＝±2i，故对应的特征值方程为

（λ－1）（λ＋2i）（λ－2i）＝（λ－1）（λ2＋4）＝λ3－λ2＋4λ－4

所以所求微分方程为y?－y″＋4y′－4y＝0。

6 单选题 1分

如图1所示，曲线方程为y＝f（x），函数在区间[0，a]上有连续导数，则定积分在几何上表示（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

其中af（a）是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积。

7 单选题 1分

设f（x）＝x2（x－1）（x－2），则f′（x）的零点个数为（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

f′（x）＝4x3＋3x2－4x＝x（4x2＋3x－4）。令f′（x）＝0，可得f′（x）有三个零点。

8 单选题 1分

设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

由函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界可知，若{xn}单调，则{f（xn）}单调有界。根据单调有界定理，进一步可得{f（xn）}收敛。