2009全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且

若P＝（α1，α2，α3），Q＝（α1＋α2，α2，α3），则QTAQ为（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

即Q＝PE12（1），则

2 单选题 1分

设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|＝2，|B|＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

分块矩阵的行列式

即分块矩阵可逆。

根据CC*＝|C|E，C*＝|C|C－1，C－1＝C*/|C|，可得

3 单选题 1分

设函数y＝f（x）在区间[－1，3]上的图形如图2所示。

则函数

的图形为（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

由y＝f（x）的图形可见，其图像与x轴及y轴、x＝x0所围的图形的代数面积为所求函数F（x），从而可得出几个方面的特征：①x∈[0，1]时，F（x）≤0，且单调递减；②x∈[1，2]时，F（x）单调递增；③x∈[2，3]时，F（x）为常函数；④x∈[－1，0]时，F（x）≤0为线性函数，单调递增；⑤F（x）为连续函数。结合这些特点，可见D项正确。

4 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

5 单选题 1分

当x→0时，f（x）＝x－sinax与g（x）＝x2ln（1－bx）是等价无穷小，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

当x→0时，有ln（1－x）～x，sinx～x，结合等价无穷小和洛必达法则，可得

∴a3＝－6b，故排除BC两项。另外，存在，蕴含了1－acosax→0（x→0），故a＝1。排除D项。所以本题选A项。

6 单选题 1分

函数

的可去间断点的个数为（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

由于

则当x取任何整数时，f（x）均无意义。

故f（x）的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x－x3＝0的解x1，2，3＝0，±1。而

故可去间断点为3个，即0，±1。

7 单选题 1分

若f″（x）不变号，且曲线y＝f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f（x）在区间（1，2）内（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

由题意可知，f（x）是一个凸函数，即f″（x）＜0，且在点（1，1）处的曲率

而f′（1）＝－1，由此可得，f″（1）＝－2。在[1，2]上，f′（x）≤f′（1）＝－1＜0，即f（x）单调减少，没有极值点。对于f（2）－f（1）＝f′（ξ）＜－1，ξ∈（1，2）（拉格朗日中值定理）。

又因为f（1）＝1＞0，且f（2）－f（1）＜－1，所以f（2）＜0，由零点定理知，在[1，2]上，f（x）有零点。故应选B项。

8 单选题 1分

设函数z＝f（x，y）的全微分为dz＝xdx＋ydy，则点（0，0）（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

因dz＝xdx＋ydy可得?z/?x＝x，?z/?y＝y，A＝?2z/?x2＝1，B＝?2z/?x?y＝?2z/?y?x＝0，C＝?2z/?y2＝1。又在（0，0）处，有?z/?x＝0，?z/?y＝0，AC－B2＝1＞0，故（0，0）为函数z＝f（x，y）的一个极小值点。