2015全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

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正确答案：A

本题解析：

2 单选题 1分

设矩阵

若集合Ω＝{1，2}，则线性方程Ax＝b有无穷多个解的充分必要条件为（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

Ax＝b的增广矩阵，即

∵线性方程Ax＝b有无穷多个解的充要条件是r（A）＝r（A，b）＜3。∴a＝1或a＝2同时d＝1或d＝2。故答案选D项。

3 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

平面区域D的图形为图2中阴影部分。

作极坐标变换，令

则该二重积分区域变为

所以

故答案选B项。

4 单选题 1分

设函数f（x）在（－∞，＋∞）连续，其2阶导函数f″（x）的图形如图1所示，则曲线y＝f（x）的拐点个数（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，观察图1可知，函数f（x）在除去点x＝0外处处二阶可导。如图1所示，虽然f″（0）不存在，但在点x＝0两侧f″（x）异号，因此（0，f（0））是y＝f（x）的拐点。

A点处二阶导数为0，且A点两侧f″（x）异号，根据拐点的定义知，A点为曲线的拐点。B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧f″（x）都是大于0，因此，B点不是拐点。

5 单选题 1分

函数

在（－∞，＋∞）内（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

∴f（x）在x＝0点左右极限都存在且f（0＋）＝f（0－）＝1，又由于f（x）在x＝0无定义，根据间断点定义及性质判断，f（x）有可去间断点x＝0。故选B项。

6 单选题 1分

设函数f（u，v）满足f（x＋y，y/x）＝x2－y2，则与依次是（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

令u＝x＋y，v＝y/x，则x＝u/（1＋v），y＝uv/（1＋v）。将上式代入f（x＋y，y/x）＝x2－y2，可以得到f（x＋y，y/x）关于u，v的表达式，即

∵

∴

故答案选D项。

7 单选题 1分

设函数

若f′（x）在x＝0处连续，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

当x＜0时，f′（x）＝0，f－′（0）＝0。当x＞0时，有

运用单侧极限的定义，有

∵f′（x）在x＝0处连续，∴

得到α－1＞0。

又

综上可得α－β－1＞0，故答案选A项。

8 单选题 1分

下列反常积分收敛的是（　　）

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正确答案：D

本题解析：