2014全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

用行列式的性质与按一行（列）展开定理计算行列式

2 单选题 1分

设函数u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

及

则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

由于u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，故u（x，y）在D内必然有最大值和最小值，并且若在内部存在驻点（x0，y0），即

则在这个点处

由条件知，AC－B2＜0，则u（x，y）不是极值点，当然也不是最值点，故u（x，y）的最大值点和最小值点都在区域D的边界上。

3 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

4 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

5 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

6 单选题 1分

设函数f（x）＝arctanx，若f（x）＝xf′（ξ），则（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

7 单选题 1分

设α1，α2，α3是三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

若向量组α1，α2，α3线性无关，则

对任意的常数k，l，矩阵K的秩都等于2，所以向量α1＋kα3，α2＋lα3，一定线性无关。

当

时，对任意的常数k，l，向量α1＋kα3，α2＋lα3，线性无关，但向量组α1，α2，α3线性相关。综上可得，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要不充分条件。

8 单选题 1分

设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

方法一：若熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可以直接做出判断，显然g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x是连结（0，f（0））（1，f（1））两点的直线方程，故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即在区间[0，1]上f（x）≤g（x）。

方法二：若不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，曲线F（x）是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即在区间[0，1]上F（x）＝f（x）－g（x）≤0，即f（x）≤g（x）。