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2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

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发布时间: 2021-12-30 13:50

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1 单选题 1分

设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则

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正确答案:D

本题解析:

由相关系数的性质可知:如果|ρXY|=1,则必有P{Y=aX+b}=1,(a≠0),现在题设条件ρXY=1,只要在P{Y=±2X±1}=1四个选项中选一就可以了,实际上只要确定它们的正负号即可,本题可以从X~N(0,1)和Y~N(1,4)及ρXY=1直接推出P{Y=aX+b}=1中的a,b值.但更方便的,不如直接定出a,b的正负号更简单.

【求解】先来确定常数b,由P{Y=aX+b}=1.可得到E(Y)=aE(X)+b再因为X~N(0,1),Y~N(1,4),所以,1=a?0+b,即得b=1现来求常数a,实际上只要判定a的正负号就可以了.

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而Cov(X,Y)=Cov(X,aX+b)=aCov(X,X)=a故a>0.答案应选(D).

【评注】从数学一,章节练习,研究生数学一真题,也可得到a=2

2 单选题 1分

设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为

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正确答案:A

本题解析:

随机变量Z=max(X,Y)的分布函数Fz(x)应为Fz(x)=P{Z≤x},由此定义不难推出Fz(x).【求解】数学一,章节练习,研究生数学一真题故答案应选(A).

【评注】不难验证(B)F(x)F(y)恰是二维随机变量(X,Y)的分布函数.(C)1-[1-F(x)]^2则是随机变量min(X,Y)的分布函数.(D)[1-F(x)][1-F(y)]本身不是分布函数,因它不满足分布函数的充要条件.

3 单选题 1分

设A为三阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

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  在正交变换下的标准方程的图形如图所示,

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  则A的正特征值的个数为

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正确答案:B

本题解析:

本题把线性代数与解析几何的内容有机的联系起来,首先要明白所给图形是什么曲面?其标准方程是什么?  双叶双曲面,标准方程是:数学一,章节练习,研究生数学一真题=1其次,二次型经正交变换化为标准形时,其平方项的系数就是A的特征值,所以应选(B).

很多考生选择(C),是不是把标准方程记成了图1} 而忽略了本题的条件是x^TAx=1.

4 单选题 1分

设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则

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正确答案:C

本题解析:

判断矩阵A可逆通常用定义,或者用充要条件行列式|A|≠0(当然|A|≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E,(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E,所以,由定义知E-A,E+A均可逆.故选(C).

【评注】本题用特征值也是简捷的,由A^3=O数学一,章节练习,研究生数学一真题A的特征值λ=0数学一,章节练习,研究生数学一真题E-A(或E+A)特征值均不为0数学一,章节练习,研究生数学一真题|E-A|≠0(或|E+A|≠0)数学一,章节练习,研究生数学一真题E-A(或E+A)可逆

5 单选题 1分

设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是

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正确答案:B

本题解析:

(方法一)由于{xn}单调,f(xn)单调有界,则数列{f(xn)}单调有界.由单调有界准则知数列{f(xn)}收敛,故应选(B). (方法二)排除法:若取数学一,章节练习,研究生数学一真题,则显然f(xn)单调,{x}收敛,但数学一,章节练习,研究生数学一真题显然{f(xn)}不收敛,这样就排除了(A).若取f(xn)=arctanx,x=n,则f(xn)=arctann,显然{f(xn)}收敛且单调,但{xn}不收敛,这样就排除了(C)和(D),故应选(B)

6 单选题 1分

数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

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正确答案:D

本题解析:

由通解表达式数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题  可知其特征根为.数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

可见对应特征方程为数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

故对应微分方程为数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题,应选(D).

【评注】对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程,同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系

7 单选题 1分

函数数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题在点(0,1)处的梯度等于

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正确答案:A

本题解析:

直接利用公式.数学一,章节练习,研究生数学一真题  因为,数学一,章节练习,研究生数学一真题

  于是.数学一,章节练习,研究生数学一真题

  故应选(A).

8 单选题 1分

设函数数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题,则f’(x)的零点个数为

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正确答案:B

本题解析:

由于f'(x)=2xln(2+x^2)且ln(2+x^2)≠0,则x=0是f'(x)唯一的零点,故应选(B).

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