2020年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

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1 单选题 1分

设随机变量（X，Y）服从二维正态分布N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是（　　）

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正确答案：C

本题解析：

2 单选题 1分

设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C恰有一个事件发生的概率为（　　）

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正确答案：D

本题解析：

3 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

由拉格朗日中值定理知，存在ξ介于a与（x）之间，使得sin（x）－sina＝cosξ·[（x）－a]。

4 单选题 1分

若，则（x）第二类间断点的个数为（　　）

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正确答案：C

本题解析：

5 单选题 1分

设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足得可逆矩阵P为（　　）

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正确答案：D

本题解析：

a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。

设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，

由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。

a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量

可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足。

故应选D项。

6 单选题 1分

设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A*为A的伴随矩阵，则A*x＝0的通解为（　　）

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正确答案：C

本题解析：

由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。

由，可知r（A*）＝1。

故A*x＝0的基础解系含有3个解向量。

因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看做作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。

又A*A＝A*（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A*x＝0的解。

综上，a1，a3，a4为A*x＝0的一个基础解系，故A*x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数。

7 单选题 1分

设幂级数的收敛区间为（－2，6），则的收敛区间为（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

8 单选题 1分

设奇函数（x）在（－∞，＋∞）上具有连续导数，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

因为（x）在（－∞，＋∞）上具有连续导数，且为奇函数，故′（x）为偶函数，又cos（x）也为偶函数，从而cos（t）＋′（t）为偶函数，进而是奇函数。故应选A项。