2010年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

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1 单选题 1分

设f1（x）是标准正态分布的概率密度函数，f2（x）是[－1，3]上均匀分布的概率密度，且

为概率密度，则a，b应满足（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

所以

于是2a＋3b＝4，故选A项。

2 单选题 1分

设A为四阶实对称矩阵，且A2＋A＝O，若A的秩为3，则A相似于（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

因为A为4阶实对称矩阵，所以A必可相似对角化，且A的特征值全为实数。设λ为A的特征值，则λ2＋λ＝0λ＝0或λ＝－1。又A的秩为3，则A的特征值为－1，－1，－1，0，故选D项。

3 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

4 单选题 1分

设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g″（x）＜0，g（x0）＝a是g（x）的极值，则f（g（x））在x0取到极大值的一个充分条件是（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

即x＝x0是f（g（x））的驻点。

若想要f（g（x））在x0取到极大值，只要f′（g（x0））g″（x0）＜0，即f′（g（x0））＞0，于是f′（a）＞0是一个充分条件，故选B项。

5 单选题 1分

设y1，y2为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若存在λ，μ使λy1＋μy2为该方程的解，λy1－μy2为该方程对应齐次微分方程的解，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

因为y1，y2为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，所以

y1′＋p（x）y1＝q（x），y2′＋p（x）y2＝q（x）①

λy1＋μy2为该方程的解，则（λy1＋μy2）′＋p（x）（λy1＋μy2）＝q（x）。将①代入上式可得λ＋μ＝1②，λy1－μy2为该方程对应齐次微分方程的解，则（λy1－μy2）′＋p（x）（λy1－μy2）＝0。将①代入上式可得λ－μ＝0③，由②和③可得λ＝μ＝1/2，故选A项。

6 单选题 1分

若则a等于（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

7 单选题 1分

设向量组（Ⅰ）α1，α2，…αr，可由向量组（Ⅱ）β1，β2，…βs线性表示，则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

向量组（Ⅰ）α1，α2，…αr，可由向量组（Ⅱ）β1，β2，…βs线性表示，则

r（α1，α2，…αr）≤r（β1，β2，…βs）≤s

对选项A，若向量组（Ⅰ）线性无关，则r（α1，α2，…αr）＝r，故r≤s，即选A项。

8 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

于是，当x充分大时，f（x）＜g（x）；

于是，当x充分大时，g（x）＜h（x）。故选C项。