设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且fi″(x0)<0(i=1,2),若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有( )。
由题可知,f1(x0)=f2(x0)=g(x0),f1′(x0)=f2′(x0)=g′(x0),且根据曲率大小关系有f1″(x0)<f2″(x0),g″(x0)=0。
令F(x)=f1(x)-f2(x),则F(x0)=0,F′(x0)=f1′(x0)-f2′(x0)=0,F″(x0)=f1″(x0)-f1″(x0)<0。所以,F(x0)=0为F(x)的一个极大值,即在x0的某个邻域内F(x)≤0,也即f1(x)≤f2(x)。
同理设G(x)=fi(x)-g(x)(i=1,2),可得在x0的某个邻域内G(x)≤0,也即fi(x)≤g(x)。
综上,在x0的某个邻域内,f1(x)≤f2(x)≤g(x)。