2019年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题

函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列等内容。

-次实践活动中，某班甲、乙两个小组各 20 名学生在综合实践基地脱玉米粒，-天内每人完成脱粒数量(千克)的 数据如下：

甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，

75，78，79，82，83，83，85，86，86，89。

乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，

69，73，76，77，78，85，85，88，94，96。

问题：

(1)分别计算甲、乙两组学生脱粒数量(千克)的中位数；(2 分)

(2)比照甲、乙两组数据，请你给出 2 种信息，并说明实际意义。(5 分)

试判断过点 P1(2，0，1)，P2(4，3，2)，P3(-2,1,1)的平面π与平面

的位置关系，并写出- 个与平面π垂直的平面方程。

已知方程

的两个实数解为 1 与-2，试求该方程的全部实数解。

用统计方法解决实际问题的过程，主要包括哪些步骤?

评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。

设 R2为二维欧氏平面，F 是 R2到 R2的映射，如果存在-个实数ρ，O＜ρ＜1，使得对于任意的 P，Q∈R2，有 d(F(P)， F(Q))≤ρd(P，Q)(其中 d(P，Q)表示 P，Q 两点间的距离)，则称 F 是压缩映射。

设映射 T：R2→R2

(1)证明：映射 T 是压缩映射。(4 分) (2)设 P0=P0(x0，y0)为 R2 中任意-点，令 Pn=T(Pn-1)，n=1，2，3，…，

甲、乙两位数学教师均选用如下素材组织了探究活动，如图 所示，这是-个三级台阶，它的每-级的长、宽、高分 别为 50 cm，25 cm 和 15 cm。A 和 B 是这个台阶的两个相对端点，B 点上有-只蚂蚁，想到 A 点去吃食物。请你想- 想，这只蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到 A 点，最短路线是什么?

两位教师的教学过程如下。

甲教师：用大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题，教师巡视过程中看到有的同学把台阶画出来，与 教学预设不符，立即中止了大家讨论，指着题目说：“同学们请注意读题，是‘沿着台阶面’，你们把这张图画出 来有什么用?”

在接下来讨论中，教师又遇到新情况，有的画展开图，却把尺寸弄错了，于是老师终止思考。乙教师：展示情境， 将问题进行分析，出示了-张台阶模样纸片，边说边将纸片拉直，如图 所示，然后让大家研究。很快，有同学说 出答案，教师解释了下，同学们都明白了。

甲、乙教师课后交流：两个教师在教学中均有探究。

问题： (1)《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出，“有效的数学活动是教师教与学生学的统-”，教师应成为学生学 习活动的组织者、引导者、合作者。请说明两位教师的教学是否符合要求? (2)两位教师组织的探究活动各自存在什么问题?请简要说明并简述理由。 (3)组织数学探究活动，需要注意哪些事项?请说明。

《义务教育数学课程标准(201 1 年版)》附录中给出了两个例子：

例 1．计算 15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。 例 2．证明例 l 所发现的规律。 很明显例 l 计算所得到的乘积是-个三位数或者四位数，其中后两位数为 25，而百位和千位上的数字存在这样的规 律：1×2=2，2×3=6，3×4=12，…，这是“发现问题”的过程，在发现问题的基础上，需要尝试用语言符号表达 规律，实现“提出问题”，进-步实现“分析问题”和“解决问题”。

请根据上述内容，完成下列任务：

(1)分别设计例 1、例 2 的教学目标；(8 分) (2)设计“提出问题”的主要教学过程；(8 分) (3)设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；(7 分) (4)设计“推广例 l 所探究的规律”的主要教学过程。(7 分)