2017年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）真题

已知抛物面方程

(1)求抛物面上点 M(1，1，3)处的切平面方程；(4 分) (2)当 k 为何值时，所求切平面与平面 3x+ky-4z=0 相互垂直。(3 分)

已知向量组 a1=(2，1，-2)，a2=(1，1，0)，a3=(t，2，2)线性相关。

(1)求 t 的值；(4 分)

(2)求出向量组{a1，a2，a3}的一个极大线性无关组。(3 分)

有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的 6 个杯子中，每种品 牌各 3 杯，作为试验样品。

(1)从 6 杯样品饮料中随机选取 3 杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。独立进行 5 次试验， 求 3 次成功的概率；(5 分)

(2)某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌。现请他品尝试验样品中的 6 杯饮料进行品牌区分，作为一次试 验，若区分完全正确，视为试验成功。他经过 5 次试验，有 3 次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力?说明 理由。(2 分)

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》用行为动词“了解”“理解”“掌握”“应用”等描述结果目标，请解 释“了解等腰三角形的概念”的具体含义。

书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“有理数”一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关 注的主要问题。

(1)F(x)在[a，b]上连续；(5 分) (2)F(x)在[a，b]上可导，且 F′(x)=?(x)。(5 分)

推理一般包括合情推理与演绎推理。 (1)请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；(6 分) (2)举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用(6 分)，并阐述二者间的关系。(3 分)

为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，一节习题课上，甲乙两位教师各设计了一道典型例题。

【教师甲】

如图，在边长 a 的正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上一点(不同于 A，D)，连 CE，在该正方形边上选取点 F，连接 DF， 使 DF=CE。请解答下面的问题：

(1)满足条件的线段 DF 有几条?

(2)根据(1)的结论，分别判断 DF 与 CE 的位置关系，并加以证明。

【教师乙】

如图 ，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，AB 边上的点(点 E，F 均不与正方形顶点重合)，且 AE=BF， CE，DF 相交于点 M。证明：

(1)DF=CE；(2)DF⊥CE。

问题：

(1)分析两位教师例题设计的各自特点。(10 分) (2)直接写出教师甲的例题中两个问题的结论(不必证明)。(4 分) (3)结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题?(请写出至少两个问题)。

针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下： ①进一步了解一元二次方程的概念； ②进一步理解一元二次方程的多种解法(配方法、公式法、因式分解法等)； ③会运用判别式判断一元二次方程根的情况： ④通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验。

问题： 根据上述教学目标，完成下列任务：

(1)为了落实上述教学目标①、②，请设计一个教学片段，并说明设计意图；(18 分) (2)配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作 用。(12 分)