2022年下半年教师资格《初中数学学科知识与教学能力》黑钻押题

设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，求a。

求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

如何在数学思想方法教学中贯彻实践性原则?

函数知识一直是中学代数内容的主线，是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，这就决定了函数在中学数学中的重要地位。请结合自己的教学说明如何进行函数概念的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么，并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。

证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

设矩阵求矩阵M的逆矩阵M-1。

求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面方程。

设随机变量X在区间（0，1）服从均匀分布，求Y=eX的概率密度。

简要谈谈你是怎样理解“教师是学习的组织者、引导者与合作者”的?

求曲线y=+ln（1+ex）所有的渐近线。

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止作答，即闯关成功。已知在6道

（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率 ；

（2）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

什么是数学概念形成?数学概念形成的学习过程可以分为哪几个阶段?

将直线的一般方程化为直线的点向式方程。

把向量β表示成α1，α2，α3，α4的线性组合，其中β=（1，2，1，1）T，α1=（1，1，1，1）T，α2=（1，1，-1，-1）T，α3=（1，-1，1，-l）T，α4=（1，-1，-1，1）T。

求曲面x2+2y2+3z2=21的一个切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

以初中数学中“圆”的教学为例，介绍至少三种课堂导入的方法。

求由曲线y=3-x2和y=1-x所围的平面图形的面积S。

钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是40％、35％和25％，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0．8，0．3和0．1。试求找到钥匙的概率。

简述波利亚怎样解题表的教学步骤。

（1）求矩阵A的全部特征值和特征向量；

（2）A是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵T，使T-1AT为对角阵：

验证拉格朗日中值定理对于函数在[0，2]上的正确性。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，数学课程的内容“应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”。

（1）这里的“过程”大体上要包括哪些方面?（5分）

（2）结合具体的数学内容，谈谈数学新课程的教学应采用什么样的模式展开?（5分）

（3）课程标准的这一理念从内容上强调了过程，这对教师提出了新的要求，谈谈你对此方面的理解。（5分）

理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。结合新课程改革，谈谈你对新课程实施过程中数学教学方法应如何进行创新的见解。

初中“变量与函数”设定的教学目标如下：

①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义；

②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力；

③引导学生探索实际f=-1题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。

完成下列任务：

（1）根据教学目标①，给出至少两个实例，并说明设计意图；

（2）根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图；

（3）根据教学目标③，设计两个问题，并说明设计意图；

（4）本节课的教学重点、难点是什么?

（5）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?在义务教育各个学段中，《义务教育数学课程标准(2011年版)》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，提出发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力。请你结合新课程与新理念，谈谈在初中阶段加强“统计与概率”教学的必要性与可能性。

以下为某教师在进行《一元一次不等式组》教学中设计的相关教学活动：

出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端。体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克?

教师问学生：“你们玩过跷跷板吗?先看看题，一会请同学复述一下。”学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板?第一次坐时情况怎样?第二次呢?学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：

爸爸体重>小宝体重+妈妈体重

爸爸体重＜小宝体重+妈妈体重+一副哑铃重量

教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重?学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了：“可以列不等式组。”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢?”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他发言：“可以设小宝的体重为x千克，能列出两个不等式。

可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中会遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组……”不等教师说完，学生都齐声答：“列不等式组。”全班12个小组都积极投入到解题活动中了。5分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法解题的完整认识。

(1)请结合新课标简要分析该教师的教学过程。(8分)

(2)本节课所蕴含的数学思想方法包括什么?(6分)

(3)请设置一道开放题检测学生对本节知识内容的掌握情况。(6分)

下面是“图形变换”教学片段的描述，阅读并回答问题。

片段一：教师利用电脑和投影演示一个三角形分别经过平移、旋转和轴对称变换后得到其对应图形的变换过程，学生观察图形，回忆三种图形变换的基本特征，并归纳出三种变换的共性。

片段二：观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的?

学生观察图形，将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程。教师演示课件，突出基本图形经过不同的图形变换后得到组合图案的过程。

片段三：教师指导学生选择简单的基本图形，进行不同的图形变换，组合出美丽的图案。

在本次活动中，教师重点关注：(1)学生选取的基本图形不要过于复杂；(2)指导学生依据对应图形全等这一图形变换的共性剪出多少个基本图形，然后再依据各种变换的基本特征拼出组合图案。

问题：

(1)分析片段一中教师引入课程的方式；

(2)思考片段二的设计意图；

(3)片段三的学生培养目标是什么?

下面是一位同学解不等式的过程，请据此回答问题。

解不等式：>1+

解：去分母，得2(2x+1)>1+3(4x-1)，

去括号，得4x+2>1+12x-3，

移项、合并同类项，得-8x>-4，系数化为1，得x>

问题：

(1)这位同学在解不等式的过程中有哪些错误？请写出正确的解答过程。

(2)解一元一次不等式过程中容易出现哪些错误？

(3)为了避免出现这些错误，教师在讲课过程中应如何讲解？

平均数、中位数和众数是度量数据集中趋势的三个主要特征数，它们具有不同的特点和应用场合，掌握它们之间的关系和各自不同的特点，有助于我们在实际应用中选择合理的统计量来描述数据的集中趋势。

（1）试说明平均数、中位数和众数的不同特点；

（2）写出“平均数、中位数和众数的选用”这一课题的教学目标及重难点；

（3）请你设计一道应用这三个特征数的问题，并说明设计意图。

初中“变量与函数”设定的教学目标如下：

①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义；

②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力；

③引导学生探索实际f=-1题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。

完成下列任务：

（1）根据教学目标①，给出至少两个实例，并说明设计意图；

（2）根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图；

（3）根据教学目标③，设计两个问题，并说明设计意图；

（4）本节课的教学重点、难点是什么?

（5）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?

某教师关于“实际问题与二元一次方程组”的教学过程各环节设计的习题如下：

（1）提出问题，导入新课

问题1：母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄的3倍，此时母亲的年龄为几岁?

解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。

由题意得26+x=3x。

解法二：设母亲的年龄为x岁。

由题意得x=3（x-26）。

（2）精选讲例，探求新知

问题2：某班有45位学生，共有班费2400元，现准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元／年，《科学报》的订费为50元

新课程内容标准中对第三学段中“分式”的具体目标设置为“了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分与通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算”，结合上述内容，对“分式（第一课时）”进行问答题。

（1）本节课的教学目标是什么?（8分）

（2）本节课的教学重点和难点是什么?（8分）

（3）请为本节课的问答题一个课程导入。（14分）

初中“反比例函数及其图象”的教学目标设计如下：

①进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。

②逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质；初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式。

③培养观察能力，以及从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力。

完成下列任务：

（1）本节课的教学重点是什么?（8分）

（2）作为初中阶段的基础内容，其难点是什么?（8分）

（3）请设计一个教学导入并说明设计意图。（14分）