2022年下半年教师资格《初中数学学科知识与教学能力》押题密卷题

请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。

在义务教育各个学段中，《义务教育数学课程标准(2011年版)》安排了“数与代数”“空间与图形…‘统计与概率…‘实践与综合应用”四个学习领域，提出发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力。请你结合新课程与新理念，谈谈在初中阶段加强“统计与概率”教学的必要性与可能性。

如何处理面向全体学生与关注学生个体差异的关系

简要论述《义务教育数学课程标准(2011年版)》中关于“课程内容”中“图形与几何”的主要内容。

如何在发展的过程中贯彻巩固性原则

试分别叙述罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。若以S(x)记由(a,(a))，(b，(b))，(x,(x)))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》所制定的总目标是什么?总目标是从哪几个方面进行阐述的?

依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》教学建议，在数学教学活动中，教师应做好哪几点?

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教学中应该注意的几个关系是什么?

“巩固与发展相结合”是数学教学的基本原则。谈谈“巩固”与“发展”的关系，教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。

下面是“勾股定理”一课的课堂教学：

第一个环节：探索勾股定理的教学

师（出示4幅图形和表格）：观察、计算各图中正方形A，B，C的面积，完成表格，你有什么发现?

生：从表中可以看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。并且，从图中可以看出正方形A、B的边就是直角三角形的两条直角边，正方形C的边就是直角三角形的斜边，根据上面的结果，可以得出结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

第二个环节：证明勾股定理的教学

教师给各小组分发制作好的直角三角形和正方形纸片，先分组拼图探究，在交流、展示，让学生在实践探究活动中形成新的能力(试图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同的方法表示)。

学生展示略

第三个环节：运用勾股定理的教学

师(出示图形)：图形是由两个正方形组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新的正方形，若能，看谁剪的次数最少。

生：可以剪拼成一个面积不变的新的正方形，设原来的两个正方形的边长分别是a，b，那么它们的面积和就是a2+b2，由于面积不变，所以新正方形的面积应该是a2+b2，所以只要是能剪出两个以a，b为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个边长为a2+b2的正方形就行了。

第四个环节：挖掘勾股定理文化价值

师：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，数与形密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定理最早记载于公元前十一世纪我国古代的《周髀算经》，在我国古籍《九章算术》中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理”，是欧式几何的核心定理之一，是平面几何的重要基础，关于勾股定理的证明，吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家，甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵，希望同学们课后查阅相关资料，了解数学发展的历史和数学家的故事，感受数学的价值和数学精神，欣赏数学的美。

问题：

(1)教学环节一的设计，你有怎样的启发；

(2)教师引导学生利用图形证明勾股定理的过程，你是否认可?请给出你的看法和依据；

(3)针对教学环节三、四的设计是否恰当?说说你的看法。

的平面方程。

已知连续型随机变量X的概率密度为

求：（1）k；（2）分布函数F（x）；（3）P（1．5≤x≤2．5）。

初中“平面直角坐标系”（第一节课）设定的教学目标如下：

①了解有序数对的概念，体会有序数对在现实生活中应用的广泛性：

②通过实例让学生认识有序数对，感受有序数对在确定点的位置中的作用。

完成下列任务：

（1）根据教学目标①，设计至少三个问题，并说明设计意图。（6分）

（2）根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图。（6分）

（3）本节课的教学重点是什么?（6分）

（4）作为初中阶段的重要内容，其难点是什么?（6分）

（5）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?（6分）

针对“随机事件”起始课的教学。两位教师给出了如下教学设计片段：

【教师甲】

设置问题情境：下列问题哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?

①太阳从西边下山；②某人的体温是100℃；③a2+b2=-1（其中a，b都是实数）；④水往低处流；⑤酸和碱反应生成盐和水；⑥三个人性别各不相同；⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。

引发思考：把上面的事件①、④、⑤、⑦称为必然事件，把事件②、③、⑥称为不可能事件，提问：什么是必然事件?什么又是不可能事件呢?它们的特点各是什么?

【教师乙】

在日常生活中我们会发现有些事件是可能发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是必然发生的．在数学中我们怎样定义事件发生的可能性呢?今天就来学习必然事件、不可能事件的概念。

请完成下列任务：

（1）请分析两位教师引入“随机事件”概念设计方案的各自的特点；（12分）

（2）请分析“随机事件”的重、难点；（6分）

（3）在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“随机事件”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“随机事件”概念的理解。（12分）

“变量与函数”是初中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：

（1）在“变量与函数”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案：

①强调认识变量、常量，用式子表示变量间关系。

②强调能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画。你赞同哪种方案?简述理由。（14分）

（2）给出y=4x+6以及4x+6=0，则指出哪个是函数，如果是函数，它的变量是什么?常量是什么?（6分）

（3）为了让初中生充分认识“变量与函数”中“变量”的概念，作为教师应该对此有深刻的理解，请谈谈你对“变量”概念的认识。（10分）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将课程标准中原来的“双基”改为了“四基”，请简述“双基”为什么要发展为“四基”。

（1）求|A|；

（2）已知线性方程组AX=b有无穷多解，求a，并求AX=b的通解。

求出齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解。

设a1=（1，-1，2，4），a2=（0，3，1，2），a3=（3，0，7，14），a4=（1，-1，2，0），a5=（2，1，5，6）。

（1）证明a1，a2线性无关；

（2）把a1，a2扩充成一极大线性无关组。

已知函数f（x）=lg（x+1）。

（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求函数Y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数。

的值。

证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

如下图所示，设0＜a＜b，函数(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且(x)>0，(a)=(b)。设ι为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数(x)的图像上并支撑在点A(ζ，(ζ))上，从直观上看。

以初中数学中“圆”为例，介绍至少三种课堂导入的方法。

简述《义务教育阶段数学课程标准(2011年版)》的课程性质。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》，在各个学段中安排了4个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”，其中“综合与实践”内容设置的目的在于什么

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止作答，即闯关成功，已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是争。

(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

设二次函数方程的两个根X1，X2满足

(1)当x∈(0，xl)时，证明x＜f(x)＜x1

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明

设函数是等价无穷小，求a，b．k的值。

简述初中数学新课程教学内容的特点。

怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何让学生成为学习的主体

(1)求a，b的值；

(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

“数学学科内涵”是影响初中数学课程的主要因素之一。请以一元二次方程为例论述数学学科内涵的主要含义。

案例1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法。并简要介绍方法。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“方程”确实是一种有效的数学工具．它能让我们的思维过程更加准确和简明!

但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍)。今天，就让我们通过一些带有选择“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。(介绍新知识)

案例2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题。随着教学过程的深入，很有感想。

例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一

个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金如下表所示：

请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少?(严禁超载)

师：谁能公布一下自己的设计方案?(学生都在紧张的思考中)(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。)

生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租!(这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止。)

师：很好!你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢?

生(一下子来劲了)：如果租大船，则需要船只数为48÷5=9．6只，因为不能超载．所以租大船需10只，则所付租金要3×10=30元。如果租小船，则需要船只数为48÷3=16只，则所付租金要16×2=32元。如果既租大船又租小船……(说到这里，该生卡了壳)

(教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话)

师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案。还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声)。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。

(在师生的共同研讨中得出)：设租用X只大船，Y只小船，所付租金为A元。则：5X+3Y=

租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人(5×9)坐大船，有3人坐小船。……

师：今天的课程内容还有一项，那就是请××同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想。

生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的。所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……

问题：

(1)案例1中的教学导人形式好吗?说明理由；(10分)

(2)你认可案例2中的教师的教学过程吗?说明理由。(10分)

以下为某教师在进行《一元一次不等式组》教学中设计的相关教学活动：

出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端。体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克

教师问学生：“你们玩过跷跷板吗先看看题，一会请同学复述一下。”学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板第一次坐时情况怎样第二次呢学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：

爸爸体重>小宝体重+妈妈体重

爸爸体重＜小宝体重+妈妈体重+一副哑铃重量

教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了：“可以列不等式组。”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他发言：“可以设小宝的体重为x千克，能列出两个不等式。

可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中会遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组……”不等教师说完，学生都齐声答：“列不等式组。”全班12个小组都积极投入到解题活动中了。5分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法解题的完整认识。

(1)请结合新课标简要分析该教师的教学过程。

(2)本节课所蕴含的数学思想方法包括什么

(3)请设置一道开放题检测学生对本节知识内容的掌握情况。

在“一元二次方程根与系数的关系”一课上，某教师设计如下的教学过程：

一、探究规律

先填空，再找规律：

思考：观察表中x1+x2与XlX2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系 从中你能发现什么规律

二、得出定理并证明(韦达定理)若一元二次方程

的两根为xl、x2，则

特殊的：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则

x1+x2=-pxlx2=q

证明此处略(师生合作完成)

阅读上述教学设计片段，完成下列任务：

(1)请为此教学片段设计一个导入过程，并写出设计意图。(10分)

(2)分析该教师设计这两个环节的意图。(8分)

(3)请为此教学片段设计课堂练习并写出理由。(12分)

教学内容：人教版七年级数学上册第96页中的片段：

下面的框图表示了解这个方程的流程：

根据上述提供的教学内容，完成下列任务：

(1)提炼出“解一元一次方程”的一般步骤；

(2)预设学生在学习“解一元一次方程”过程中可能出现的错误，并提出你的矫正策略；

(3)类比法是数学教学中一种重要的教学方法，请你结合学生学习“解一元一次方程”的经验，设计一个“解一元一次不等式”的教学片段。

案例：某同学在求反比例函数)，=鱼，当x≤3时，求Y的取值范围时直接将x≤3代入y=2/3，得y≥2/3

问题：(1)该同学的解题过程哪步错了 分析原因：

(2)针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片段，并说明设计意图：

(3)怎样防范这样的错误呢

下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段：

(学生思考后)

师：谁来说一下怎么化简

师：很好，说明你已经熟练掌握分母有理化的一般方法。把你的化简过程写在黑板上。

师：大家想想有没有其他做法。

后再约分。

师：你的思维已经转向了分子，又联想到因式分解，很好!把你的化简过程也写在黑板上。

师：好的，两位同学的解法都写在黑板上了，大家比较两种解法，给大家一分钟思考时间，看这两种解法都正确吗

问题：

(1)判断学生A和学生B的解法正确吗并说明理由。

(2)如果你是王老师，请完成后续的教学。

案例1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法。并简要介绍方法。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“方程”确实是一种有效的数学工具．它能让我们的思维过程更加准确和简明!

但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍)。今天，就让我们通过一些带有选择“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。(介绍新知识)

案例2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题。随着教学过程的深入，很有感想。

例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一

个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金如下表所示：

请你帮助设计一下：怎样的租船才能使所付租金最少(严禁超载)

师：谁能公布一下自己的设计方案(学生都在紧张的思考中)(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。)

生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租!(这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止。)

师：很好!你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢

生(一下子来劲了)：如果租大船，则需要船只数为48÷5=9．6只，因为不能超载．所以租大船需10只，则所付租金要3×10=30元。如果租小船，则需要船只数为48÷3=16只，则所付租金要16×2=32元。如果既租大船又租小船……(说到这里，该生卡了壳)

(教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话)

师：刚才×××同学真的不错，不但一下子设计了三种方案。还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声)。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。

(在师生的共同研讨中得出)：设租用X只大船，Y只小船，所付租金为A元。则：5X+3Y=

租用9只大船和1只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人(5×9)坐大船，有3人坐小船。……

师：今天的课程内容还有一项，那就是请××同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想。

生：……以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的。所以一下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……

问题：

(1)案例1中的教学导人形式好吗说明理由；

(2)你认可案例2中的教师的教学过程吗说明理由。

初中“反比例函数及其图像”设定的教学目标如下：

①理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

②会画出反比例函数的图像，并结合图像分析总结出反比例函数的性质；

③渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想：

④体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

⑤培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。

完成下列任务：

(1)根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图；

(2)本节课的教学重点是什么

(3)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么

(4)请设计一个教学导人。

(5)请设计本节课小结。