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一高压同轴电缆,内导体半径a的值可自由选定,外导体半径b固定。若希望电缆能承受的最大电压为bEm/e(其中,Em是介质击穿场强),则a与b的比值应当为( )。
设同轴电缆的内导体单位长度所带电荷为τ,则电场强度E=τ2πεr(a<r<b);设同轴电缆的电压为U0(内外导体电位差),则
解得:τ=2πεU0/ln(b/a),代入电场强度公式,得到电场强度Er=a=τ/2πεa=U0/[a×(lnb-lna)](a<r<b)。若电场强度最大值为:Er=a=EmkV/cm,当a(lnb-lna)取得最小值时,电容器承受最大电压U0。根据题目已知条件及函数极值的求解公式,设b为常数,对a求导可得:
由导数几何意义可知,当时,Er=a取得极值,则ln(b/a)-1=0,故a/b=1/e。
代入Er=a方程验算,则Em=U0/(a(lnb-lna))=Emb/ae,得:a/b=1/e。