假设父母和一个孩子之间进行如下博弈，孩子采取行动A，给孩子带来收入为Ic(A)，给父母带来收入fp(A)。其中Ic(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入Ic和IP。选择留给孩子的遗产收入B，孩子的效用为U(Ic+B)，父母的效用为V(Ic-B)+kU(Ic，+B)，k>0，表示父母对孩子的关心程度。假设A≥0，收入函数Ic(A)和IP(A)是严格凹的，且分别在Ac>0，Ap>0时取得最大值。遗产可以为正，也可以为负，效用函数U，V都是递增的严格凹的函数。证明：在子博弈完美均衡中，孩子选择的行动将是最大化的家庭收入L(A)+Ip(A)。
假设家庭收入为I，即I=IC+IP。那么家庭收入最大化的一阶条件即为：
因为父母是在孩子作出决策A后，按照自身目标函数的最大化决定行动B的数值。可以参照价格领导模型，先写出父母对孩子决策的反应函数，再将反应函数代人孩子的最大化决策中，来确定孩子的最大化抉择。由题意可得，父母的目标函数为：
对目标函数求关于B的一阶导数，由此可以得到父母对孩子决策A的反应函数：
从而孩子的目标函数为：
则孩子的最大化决策为：
将(3)式对A求导，可得：
代人(5)式得：
可以看出与家庭收入最大化一阶条件相符，故原命题得证，即：孩子的决策和家庭总收入最大化相一致。
