王先生对财富w的效用函数为lnw，他目前有1万元，他的地里可以种植某种作物，旁边有条小河，有10%的概率可能发生灾害，发生灾害了就会颗粒无收，如果没有发生灾害就会得到两倍的毛收益，问： (1)王先生会投资多少？ (2)有提供竞争性保险的保险公司，保费是多少？
(1)设王先生投资x元。 如果发生灾害，效用为In（10000 -x）； 如果没有发生灾害，效用为In( 10000 +x)； 故总效用为：TU=0.lln( 10000 -x)+0. 91n( 10000 +x) 求TU最大，先求一阶导：
得x= 8000 故要使TU最大，应投资8000元。 (2)设保费为y元。 当发生灾害时，王先生损失8000元，保险公司的收益为（y - 8000）元。 当没有发生灾害时，保险公司收益y元。 故期望收益为0.1×（y - 8000）+0.9y，因为保险市场是完全竞争的，故期望收益为0，故y= 800。 因此保费为800元。
