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某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。

两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法,计算Am×n*Bn×p,需要m*n*p次乘法运算。

矩阵相乘满足结合律,多个矩阵相乘,不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100,A2100×5,A35×50三个矩阵相乘为例,若按(A1*A2)*A3计算,则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算;若按A1*(A2*A3)计算,则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。

矩阵链乘问题可描述为:给定n个矩阵<A1,A2,….An>,矩阵Ai的维数为pi-1×pi,其中i=1,2,….n。确定一种乘法顺序,使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。

由于可能的计算顺序数量非常庞大,对较大的n,用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析,发现矩阵链乘问题具有最优子结构,即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开,即分为A1*A2*….Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题,则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…An的一个最优计算顺序。据此构造递归式,

中级软件设计师,历年真题,2013年下半年(下午)《软件设计师》真题

其中,cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。

【C代码】

算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量,然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是算法的C语言实现。

(1)主要变量说明

n:矩阵数

seq[]:矩阵维数序列

cost[][]:二维数组,长度为n*n,其中元素cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*…Aj+1的最优计算的计算代价

trace[][]:二维数组,长度为n*n,其中元素trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2*Aj+1的最优计算对应的划分位置,即k

(2)函数cmm

#define?N?100

int cost[N][N];

int trace[N][N];

int cmm(int n,int seq[]){

int tempCost;

int tempTrace;

int i,j,k,p;

int temp;

for(i=0;i<n;i++){cost[i][i]=0;}

for(p=1;p<n;p++){

for(i=0;(1);i++){

(2);

tempCost=-1;

for(k=i;k<j;k++){

temp=(3);

if(tempCost==-1||tempCost>temp){

tempCost=temp;

(4);

}

}

cost[i][j]=tempCost;

trace[i][j]=tempTrace;

}

}

return cost[0][n-1];

}

【问题1】(8分)

根据以上说明和C代码,填充C代码中的空(1)~(4)。

【问题2】(4分)

根据以上说明和C代码,该问题采用了(5)算法设计策略,时间复杂度(6)。(用O符号表示)

【问题3】(3分)

考虑实例n=6,各个矩阵的维数:A1为5*10,A2为10*3,A3为3*12,A4为12*5,A5为5*50,A6为50*6,即维数序列为5,10,3,12,5,50,6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为(7)(用加括号方式表示计算顺序),所需要的乘法运算次数为(8)。

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答案:
本题解析:

【问题1】

(1)i<n-p

(2)j=i+p

(3)cost[i][k]+cost[k+1][j]+seq[i]*seq[k+1]*seq[j+1]

(4)tempTrace=k

【问题2】

(5)动态规划法

(6)O(n3)

【问题3】

(7)((A1A2)((A3A4)(A5A6)))

(8)2010

在解答本题时,需要注意的第一个问题便是矩阵的乘法到底是怎么进行的。

一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵,得到的结果是一个n行p列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。如:

中级软件设计师,历年真题,2013年下半年(下午)《软件设计师》真题

在本题中,题干部分提到“发现矩阵链乘问题具有最优子结构”,这是利用动态规划法求解最优解问题的典型特征。所以(5)应填动态规划法。

接下来分析(1)-(4)空,这几个空中,最容易回答的是(3)和(4)。(3)空可通过题目给出的递归式分析得到,其中cost数组部分与公式完全一致,而p数组在程序中是seq,所以回答时修正即可,(3)填:cost[i][k]+cost[k+1][j]+seq[i]*seq[k+1]*seq[j+1]。第(4)空的上一句为:tempCost=temp,即保存当前状态最优解,由于在保存最优解时,不仅涉及cost的记录,还涉及其位置k的记录,所以需要在此进行tempTrace=k的操作。

(1)与(2)相对复杂,其中(1)是对i值范围的确定,而(2)是对j的赋值操作(由于后面用到了j,但程序中没有对j的赋值,从而断定该空是对j的赋值)。两者一并起到一个效果,对cost数组操作时的操作范围与顺序。由于在进行矩阵链乘操作时,分析解空间所用到的是cost右上角的三角矩阵,而操作时,是对这个三角矩阵从左至右,呈斜线的访问(如图所示)。所以(1)和(2)分别填i<n-p和j=i+p。

中级软件设计师,历年真题,2013年下半年(下午)《软件设计师》真题

该程序由于涉及3重循环,所以时间复杂度为:O(n3)。通过手动运行程序的方式可知最优解为:

(A1A2)((A3A4)(A5A6))。

总计算次数为2010。

更新时间:2021-11-18 22:33

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