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设某一机器由n个部件组成,每一个部件都可以从m个不同的供应商处购得。供应商j供应的部件i具有重量wij和价格cij。设计一个算法,求解总价格不超过上限cc的最小重量的机器组成。

采用回溯法来求解该问题:

首先定义解空间。解空间由长度为n的向量组成,其中每个分量取值来自集合{1,2,…,m},将解空间用树形结构表示。

接着从根结点开始,以深度优先的方式搜索整个解空间。从根结点开始,根结点成为活结点,同时也成为当前的扩展结点。向纵深方向考虑第一个部件从第一个供应商处购买,得到一个新结点。判断当前的机器价格(c11)是否超过上限(cc),重量(w11)是否比当前已知的解(最小重量)大,若是,应回溯至最近的一个活结点;若否,则该新结点成为活结点,同时也成为当前的扩展结点,根结点不再是扩展结点。继续向纵深方向考虑第二个部件从第一个供应商处购买,得到一个新结点。同样判断当前的机器价格(c11+c21)是否超过上限(cc),重量(w11+w21)是否比当前已知的解(最小重量)大。若是,应回溯至最近的一个活结点;若否,则该新结点成为活结点,同时也成为当前的扩展结点,原来的结点不再是扩展结点。以这种方式递归地在解空间中搜索,直到找到所要求的解或者解空间中已无活结点为止。

【C代码】

下面是该算法的C语言实现。

(1)变量说明

n:机器的部件数

m:供应商数

cc:价格上限

w[][]:二维数组,w[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的重量

c[][]:二维数组,c[i][j]表示第j个供应商供应的第i个部件的价格

bestW:满足价格上限约束条件的最小机器重量

bestC:最小重量机器的价格

bestX[]:最优解,一维数组,bestX[i]表示第i个部件来自哪个供应商

cw:搜索过程中机器的重量

cp:搜索过程中机器的价格

x[]:搜索过程中产生的解,x[i]表示第i个部件来自哪个供应商

i:当前考虑的部件,从0到n-1

j:循环变量

(2)函数backtrack

int n=3;

int m=3;

int cc=4;

int w[3][3]={{1,2,3},{3,2,1},{2,2,2}};

int c[3][3]={{1,2,3},{3,2,1},{2,2,2}};

int bestW=8;

int bestC=0;

int bestX[3]={0,0,0};

int cw=0;

int cp=0;

int x[3]={0,0,0};

int backtrack(int i){

int j=0;

int found=0;

if(i>n-1){/*得到问题解*/

bestW=cw;

bestC=cp;

for(j=0;j<n;j++){

(1);

}

return 1;

}

if(cp<=cc){/*有解*/

found=1;

}

for(j=0;(2);j++){

/*第i个部件从第j个供应商购买*/

(3);

cw=cw+w[i][j];

cp=cp+c[i][j];

if(cp<=cc&&(4)){/*深度搜索,扩展当前结点*/

if(backtrack(i+1)){found=1;}

}

/*回溯*/

cw=cw-w[i][j];

(5);

}

return found;

}

查看答案 纠错
答案:
本题解析:

(1)bestX[j]=x[j]

(2)j<m

(3)x[i]=j

(4)cw<bestW

(5)cp=cp-c[i][j]

本题考查回溯法的应用。

在题目的描述中告诉了我们回溯法的基本思想。其实回溯法主要有两个过程,一个是向前探索,只要在当前满足设定的判定条件时,才向前探索,而另外一个就是回溯,在两种情况下,需要回溯,其分别是当不满足设定条件时和求的一个解的时候。

下面我们来具体分析本试题。根据题目给出的注释,我们知道第(1)空所处的位置是得到问题的一个解时,我们该怎么办,根据题目描述,应该是将这个解记录下来,存放到bestX数组当中,而求得的解是保存在x数组当中的,因此这里需要循环将x数组中的元素值赋给bestX数组,因此第(1)空答案为bestX[j]=x[j]。

第(2)空是for循环中的循环判定条件,根据题目注释我们知道该循环的作用是确定第i个部件从第j个供应商购买,那么在确定第i个部件到底是从哪个供应商购买时,需要比较从各供应商购买的情况,因此循环的次数为供应商数,因此第(2)空答案是j<m。结合这个循环体当中的语句和我们对回溯法的理解,我们可以发现循环下面的语句是要考虑将第i个部件从供应商j当中购买,也就是j是当前解的一部分,因此需要将j记录到解当中来,所以第(3)空应该是x[i]=j。

第(4)空是if语句中的一个条件,根据题目注释,我们可以知道如果该if语句表达式的计算结果为真,需要进行深度搜索,扩展当前结点,那么如果要继续向前探索,就需要满足设定的条件,也就是当前总重量要小于bestW,而当前总价格要小于等于cc,因此第(4)空的答案应该填cw<bestW。

根据题目注释,第(5)空是在回溯下面的语句,根据回溯的原则我们可以知道,回溯时,要将当前考虑的结点的重量和价格从总重量和总价格中减去,因此第(5)的答案是cp=cp-c[i][j]。

更新时间:2021-11-17 22:44

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