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堆数据结构定义如下:

对于n个元素的关键字序列{a1,a2,...,an},当且仅当满足下列关系时称其为堆。

中级软件设计师,历年真题,2010年下半年(下午)《软件设计师》真题

在一个堆中,若堆顶元素为最大元素,则称为大顶堆;若顶堆元素为最小元素,则称为小顶堆。堆常用完全二叉树表示,图4-1是一个大顶堆的例子。

中级软件设计师,历年真题,2010年下半年(下午)《软件设计师》真题

图4-1大顶堆示例

堆数据结构常用于优先队列中,以维护由一组元素构成的集合。对应于两类堆结构,优先队列也有最大优先队列和最小优先队列,其中最大优先队列采用大顶堆,最小优先队列采用小顶堆。以下考虑最大优先队列。

假设现已建好大顶堆A,且已经实现了调整堆的函数heapify(A,n,index)。

下面将C代码中需要完善的三个函数说明如下:

(1)heapMaximum(A):返回大顶堆A中的最大元素。

(2)heapExtractMax(A):去掉并返回大顶堆A的最大元素,将最后一个元素“提前”到堆顶位置,并将剩余元素调整成大顶堆。

(3)maxHeapInsert(A,key):把元素key插入到大顶堆A的最后位置,再将A调整成大顶堆。

优先队列采用顺序存储方式,其存储结构定义如下:

#define PARENT(i)i/2

typedef struct array{

int*int_array;//优先队列的存储空间首地址

int array_size;//优先队列的长度

int capacity;//优先队列存储空间的容量

}ARRAY;

【C代码】

(1)函数heapMaximum

int heapMaximum(ARRAY*A){return(1);}

(2)函数heapExtractMax

int heapExtractMax(ARRAY*A){

int max;

max=A->int_array[0];

(2);

A->array_size--;

heapify(A,A->array_size,0);//将剩余元素调整成大顶堆

return max;

}

(3)函数maxHeapInsert

int maxHeapInsert(ARRAY*A,int key){

int i,*p;

if(A->array_size==A->capacity){//存储空间的容量不够时扩充空间

p=(int*)realloc(A->int_array,A->capacity*2*sizeof(int));

if(!p)return-1;

A->int_array=p;

A->capacity=2*A->capacity;

}

A->array_size++;

i=(3);

while(i>0&&(4)){

A->int_array[i]=A->int_array[PARENT(i)];

i=PARENT(i);

}

(5);

return 0;

}

【问题1】(10分)

根据以上说明和C代码,填充C代码的空(1)~(5)。

【问题2】(3分)

根据以上C代码,函数heapMaximum、heapExtractMax和maxHeapInsert的时间复杂度的紧致上界分别为(6)、(7)、(8)(用O符号表示)。

【问题3】(2分)

若将元素10插入到堆A={15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1}中,调用maxHeapInsert函数进行操作,则新插入的元素在堆A中的第(9)个位置(从1开始)。

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答案:
本题解析:

【问题1】

(1)A->int_array[0]

(2)A->int_array[0]=A->int_array[A->array_size-1]

(3)A->array_size-1

(4)A->int_array[PARENT(i)]<key

(5)A->int_array[i]=key

【问题2】

(6)O(1)(7)O(lgn)(8)O(lgn)

【问题3】

(9)3

【问题1】

本题考查堆数据结构的相关内容。题目告诉我们函数heapMaximum(A)的功能返回大顶堆A中的最大元素;函数heapExtractMax(A)的功能是去掉并返回大顶堆A的最大元素,将最后一个元素“提前”到堆顶位置,并将剩余元素调整成大顶堆;而函数maxHeaplnsert(A,key)的功能是把元素key插入到大顶堆A的最后位置,再将A调整成大顶堆。

第(1)空在函数heapMaximum(A)中,而且从程序中可以看出,是返回的结果,那么应该是大顶堆中最大元素,就应该是A->int_array[0]。

第(2)空在函数heapExtractMax(A)中,根据该函数的功能描述,并结合程序可以看出,第(2)空是在将最大元素移出后,那么接下了来应该处理将最后一个元素“提前”到堆顶位置,那么就应该是A->int_array[0]=A->int_array[A->array_size-1]。

第(3)(4)(5)空都在函数maxHeaplnsert(A,key)中。从程序和函数的功能我们可以知道,从程序第(3)空最后,其作用是找到元素key的插入位置并插入该元素。第(3)空是给变量i赋值,从后面的程序中我们可以看出i是做为数组下标的;而查找元素插入的位置应该从后往前的顺序,因此i的初值应该为A->array_size–1,从循环中也可以看出i的值在逐渐变小。

第(4)空是循环的一个条件,而循环的作用是找到合适的插入位置,由于大顶堆的特点是根节点的值大于左右子树节点上的值,那么找到比待插入元素大的父节点时,应该就找到了它插入的合适位置,而每次操作后i的值被赋值为PARENT(i),很显然这是找到其父节点的存储位置,因此循环结束的一个条件就是找到一个比key值大的父节点,那么循环继续的条件就是父节点的值小于key的值,所以本空的答案为A->int_array[PARENT(i)]<key。<key。

第(5)空就是插入元素,所以应该填A->int_array[i]=key。

【问题2】

根据题目描述,heapMaximum用来返回大顶堆A中的最大元素,而且大顶堆已经建成,只需要通过一步操作就能取到。因此时间复杂度是O(1),

而对于heapExtractMax是用来去掉大顶堆A的根,然后重新建堆,当输出堆顶结点并将堆中最后一个结点设置为根结点之后,根结点将有可能不再满足堆的性质,所幸的是整个序列也只有根结点一处的堆结构可能被破坏,其余结点仍然满足堆性质,故可利用性质进行堆调整,算法的基本思想为:将新堆顶沿着其关键字较大的孩子结点向下移动,直到叶子结点或者满足堆性质为止。因此相对于有N个元素的堆,只需要log2n次比较即可完成,因此时间复杂度是O(log2n),这与书本说堆排序的算法时间复杂度是:O(nlog2n)不冲突,因为书本上是对堆中所有元素进行操作,而这里其实相当于只将一个元素入堆,因此少了一个n。同样的道理可以得到maxHeaplnsert的时间复杂度O(log2n)。

【问题3】

这个我们可以结合题目给出的那个大顶堆的图来看,首先将key插入在最后,应该是8这个节点的右子树,由于10比8大,所以应该互换,再与节点9比较,由于10仍然大于9,所以也应该互换,这个时候再与其父节点15比较,由于小于15,所以不需要再调整,那么调整后的结果就是10这个元素应该作为根节点15的右子树。那么很显然10应该是在堆A中第3个位置。

更新时间:2021-11-16 21:08

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