（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得
（Ⅱ）若函数φ（x）具有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），
则至少存在一点ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0。
证明：（Ⅰ）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在最大值M和最小值m，即m≤f（x）≤M，x∈[a，b]。
于是有
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，在[a，b]上至少存在一点η∈[a，b]，使得
因此而得证。
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可得，存在η∈[2，3]，使得
由
知η∈[2，3]。
由φ（2）＞φ（1），利用微分中值定理，存在ξ1∈（1，2），使得
由φ（2）＞φ（η），利用微分中值定理，存在ξ2∈（2，η），使得
存在ξ∈（ξ1，ξ2）?（1，3），使得
